微分積分例

$\int \frac{t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

ステップ 1

$t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1$ を $t^{2} + 3 t$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

ステップ 1.2

被除数 $t^{3}$ の最高次項を除数 $t^{2}$ の最高次項で割ります。

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $t^{3} + 3 t^{2} + 0$ の符号をすべて変更します。

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

ステップ 1.7

被除数 $2 t^{2}$ の最高次項を除数 $t^{2}$ の最高次項で割ります。

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

ステップ 1.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

ステップ 1.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 t^{2} + 6 t + 0$ の符号をすべて変更します。

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

ステップ 1.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

$t$

$1$

ステップ 1.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int t + 2 + \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int t d t + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

ステップ 3

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

ステップ 5

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$t$ を $t^{2} + 3 t$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$t$ を $t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{t + 1}{t \cdot t + 3 t}$

ステップ 5.1.1.2

$t$ を $3 t$ で因数分解します。

$\frac{t + 1}{t \cdot t + t \cdot 3}$

ステップ 5.1.1.3

$t$ を $t \cdot t + t \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{t + 1}{t (t + 3)}$

ステップ 5.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$

ステップ 5.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $t (t + 3)$ です。

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

ステップ 5.1.4

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

ステップ 5.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

ステップ 5.1.5

$t + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

ステップ 5.1.5.2

$t + 1$ を $1$ で割ります。

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

ステップ 5.1.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$t$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

ステップ 5.1.6.1.2

$A (t + 3)$ を $1$ で割ります。

$t + 1 = A (t + 3) + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

ステップ 5.1.6.2

分配則を当てはめます。

$t + 1 = A t + A \cdot 3 + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

ステップ 5.1.6.3

$3$ を $A$ の左に移動させます。

$t + 1 = A t + 3 \cdot A + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

ステップ 5.1.6.4

$t + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$t + 1 = A t + 3 A + \frac{B (t (t + 3))}{t + 3}$

ステップ 5.1.6.4.2

$(B) (t)$ を $1$ で割ります。

$t + 1 = A t + 3 A + (B) (t)$

$t + 1 = A t + 3 A + B t$

ステップ 5.1.7

$3 A$ を移動させます。

$t + 1 = A t + B t + 3 A$

ステップ 5.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

式の両辺から $t$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 5.2.2

式の両辺から $t$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 3 A$

ステップ 5.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

ステップ 5.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 5.3.1

$1 = 3 A$ の $A$ について解きます。

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ステップ 5.3.1.1

方程式を $3 A = 1$ として書き換えます。

$3 A = 1$

$1 = A + B$

ステップ 5.3.1.2

$3 A = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

$3 A = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

ステップ 5.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

ステップ 5.3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

ステップ 5.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{3}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$1 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{3}$ で置き換えます。

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

括弧を削除します。

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3

$1 = \frac{1}{3} + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 5.3.3.1

方程式を $\frac{1}{3} + B = 1$ として書き換えます。

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

方程式の両辺から $\frac{1}{3}$ を引きます。

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.2.3

公分母の分子をまとめます。

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.2.4

$3$ から $1$ を引きます。

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.4

連立方程式を解きます。

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.5

すべての解をまとめます。

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

ステップ 5.4

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

ステップ 5.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

ステップ 5.5.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{t}$ をかけます。

$\frac{1}{3 t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

ステップ 5.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{3 t} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t + 3}$

ステップ 5.5.4

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{t + 3}$ をかけます。

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} + \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

ステップ 8

$\frac{1}{t}$ の $t$ に関する積分は $\ln (| t |)$ です。

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

ステップ 9

$\frac{2}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{t + 3} d t$

ステップ 10

$u = t + 3$ とします。次に $d u = d t$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$u = t + 3$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$t + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t + 3]$

ステップ 10.1.2

総和則では、 $t + 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ です。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 10.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d t} [3]$

ステップ 10.1.4

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 10.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 10.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 11

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 12

簡約します。

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $t + 3$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| t + 3 |) + C$

微分積分 例

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