微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$ , $y (2) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$y^{2}$ を $3 y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.2.1.2

共通因数を約分します。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

ステップ 1.2.1.3

式を書き換えます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3}$

ステップ 1.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y^{2} d y = - \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y^{2} d y = \int - \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{2 x}{3} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{2}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{2}{3} \int x d x)$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$- \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.3.3

式を書き換えます。

$y^{3} = - x^{2} + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 3 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ の $2$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$1 = \sqrt[3]{- 2^{2} + K}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$ として書き換えます。

$\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$

ステップ 6.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{- 2^{2} + K}}^{3} = 1^{3}$

ステップ 6.3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{- 2^{2} + K}$ を ${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

ステップ 6.3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

ステップ 6.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(- 2^{2} + K)}^{1} = 1^{3}$

ステップ 6.3.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

${(- 1 \cdot 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

ステップ 6.3.2.1.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

${(- 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

ステップ 6.3.2.1.3

簡約します。

$- 4 + K = 1^{3}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 4 + K = 1$

ステップ 6.4

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$K = 1 + 4$

ステップ 6.4.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$K = 5$

ステップ 7

$5$ を $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$5$ を $K$ に代入します。

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 5}$

微分積分 例

微分積分例