微分積分例

$\int_{0}^{2} \sqrt{2 x + 1} d x$

ステップ 1

$u = 2 x + 1$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

ステップ 1.2

$u = 2 x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 1.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = 2 x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \cdot 2 + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 4 + 1$

ステップ 1.5.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 5$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{1}^{5} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$5$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{2}{3}$ と $5^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

ステップ 6.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

ステップ 7.2

まとめる。

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

ステップ 7.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

ステップ 7.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}$

ステップ 7.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}$

ステップ 7.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 7.4

各項を簡約します。

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ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1 \cdot (5^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 7.4.3

$5^{\frac{3}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

ステップ 7.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

10進法形式：

$3.39344662 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例