微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

ステップ 2

$u = \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\cos (x)$

ステップ 2.2

$u = \sin (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (0)$

ステップ 2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = \sin (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 2.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$3 \int_{0}^{1} u^{2} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$3 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ と $u^{3}$ をまとめます。

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ および $0$ で $\frac{u^{3}}{3}$ の値を求めます。

$3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

ステップ 5.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

ステップ 5.2.3

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

ステップ 5.2.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$3 (\frac{1}{3} - 0)$

ステップ 5.2.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$3 (\frac{1}{3} + 0)$

ステップ 5.2.5

$\frac{1}{3}$ と $0$ をたし算します。

$3 (\frac{1}{3})$

ステップ 5.2.6

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3}$

ステップ 5.2.7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3}$

ステップ 5.2.7.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

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