微分積分例

$y = \frac{5 + 3 x^{3}}{1 + 2 x^{3}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 + 3 x^{3}}{1 + 2 x^{3}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = 5 + 3 x^{3}$ および $g (x) = 1 + 2 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [5 + 3 x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

総和則では、 $5 + 3 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ です。

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ をたし算します。

$\frac{(1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.5

$3$ を $1 + 2 x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 (1 + 2 x^{3}) (3 x^{2}) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.7

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.8

総和則では、 $1 + 2 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ です。

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ をたし算します。

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.12

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 2 (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.13

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 2 (5 + 3 x^{3}) (3 x^{2})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.14

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(9 \cdot 1 + 9 (2 x^{3})) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} + (- 6 \cdot 5 - 6 (3 x^{3})) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.5.1.1

$9$ に $1$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.5.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x^{3})) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{2 + 3}) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.2.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{5}) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.3

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.4

$- 6$ に $5$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.5

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1.5.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 (x^{2} x^{3}))}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{2 + 3})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.5.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{5})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.1.6

$3$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 18 x^{5}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.2

$9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 18 x^{5}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.5.2.1

$18 x^{5}$ から $18 x^{5}$ を引きます。

$\frac{9 x^{2} - 30 x^{2} + 0}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.2.2

$9 x^{2} - 30 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{9 x^{2} - 30 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.3

$9 x^{2}$ から $30 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 3.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

微分積分 例

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