微分積分例

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.2

$x^{\frac{1}{3}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 8

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 8.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 8.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int x^{- 2} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - (- x^{- 1} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

簡約します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - - x^{- 1} + C$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} - - x^{- 1} + C$

ステップ 10.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} - - x^{- 1} + C$

ステップ 10.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + 1 x^{- 1} + C$

ステップ 10.2.4

$x^{- 1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + x^{- 1} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + x^{- 1} + C$

微分積分 例

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