微分積分例

$\frac{d}{d x} (\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 1

$f (x) = 1 + x^{2}$ および $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 2.6

$2$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 3.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 7.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 8

$\frac{3}{2}$ と ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 9

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 13

掛け算します。

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ステップ 13.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 1 (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 13.2

$1 + x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 14

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 15

項を簡約します。

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ステップ 15.1

$2$ と $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2} x}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 15.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 15.3

$x$ と $\frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 15.4

$2$ を $x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 16

共通因数を約分します。

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ステップ 16.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 16.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 16.3

式を書き換えます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{1}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 16.4

$x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 x + x^{2} x) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 17.2

分子を簡約します。

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ステップ 17.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 17.2.1.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{2} x) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 17.2.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 17.2.1.2.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 17.2.1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{2} x^{1}) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 17.2.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{2 + 1}) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 17.2.1.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{3}) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 17.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + x^{3} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 17.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 3 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{3} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 17.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 3 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

ステップ 17.3

項を並べ替えます。

$\frac{2 x {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例