微分積分例

$x \cos^{3} (x)$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos^{3} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$x (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$x (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$x (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x) \cdot 1$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\cos^{3} (x)$ に $1$ をかけます。

$x (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \cos^{3} (x)$

ステップ 4.3.2

項を並べ替えます。

$- 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)$

微分積分 例

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