微分積分例

$x \tan^{2} (x)$

ステップ 1

$x \tan^{2} (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x \tan^{2} (x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x \tan^{2} (x) d x$

ステップ 4

$u = x$ と $d v = \tan^{2} (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- x + \tan (x)) - \int - x + \tan (x) d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$x (- x + \tan (x)) - (\int - x d x + \int \tan (x) d x)$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x (- x + \tan (x)) - (- \int x d x + \int \tan (x) d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \tan (x) d x)$

ステップ 8

$\tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \sec (x) |)$ です。

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \ln (| \sec (x) |) + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + \ln (| \sec (x) |) + C)$

ステップ 9.2

簡約します。

$- x \cdot x + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- (x^{1} x) + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

ステップ 9.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$- (x^{1} x^{1}) + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

ステップ 9.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- x^{1 + 1} + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

ステップ 9.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- x^{2} + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

ステップ 9.4

簡約します。

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ステップ 9.4.1

分配則を当てはめます。

$- x^{2} + x \tan (x) - - \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

ステップ 9.4.2

$- - \frac{x^{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 9.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{2} + x \tan (x) + 1 \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

ステップ 9.4.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$- x^{2} + x \tan (x) + \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

ステップ 9.5

項を並べ替えます。

$- x^{2} + x \tan (x) + \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = x \tan^{2} (x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- x^{2} + x \tan (x) + \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

微分積分 例

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