微分積分例

$lim_{z \to 3} \frac{z - 3}{\sqrt{4 - z} - 1}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{z \to 3} z - 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$z$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{z \to 3} z - lim_{z \to 3} 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

ステップ 1.1.2.1.2

$z$ が $3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{z \to 3} z - 1 \cdot 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

ステップ 1.1.2.2

$z$ を $3$ に代入し、 $z$ の極限値を求めます。

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 - 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

ステップ 1.1.2.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$z$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - lim_{z \to 3} 1}$

ステップ 1.1.3.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{z \to 3} 4 - z} - lim_{z \to 3} 1}$

ステップ 1.1.3.3

$z$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{z \to 3} 4 - lim_{z \to 3} z} - lim_{z \to 3} 1}$

ステップ 1.1.3.4

$z$ が $3$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{4 - lim_{z \to 3} z} - lim_{z \to 3} 1}$

ステップ 1.1.3.5

$z$ が $3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{4 - lim_{z \to 3} z} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.6

項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

$z$ を $3$ に代入し、 $z$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sqrt{4 - 3} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.6.2

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.2.1.1

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.6.2.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.6.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.6.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{z \to 3} \frac{z - 3}{\sqrt{4 - z} - 1} = lim_{z \to 3} \frac{\frac{d}{d z} [z - 3]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{z \to 3} \frac{\frac{d}{d z} [z - 3]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $z - 3$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 3]$ です。

$lim_{z \to 3} \frac{\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 3]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{z \to 3} \frac{1 + \frac{d}{d z} [- 3]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

ステップ 1.3.4

$- 3$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{z \to 3} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

ステップ 1.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $\sqrt{4 - z} - 1$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z}] + \frac{d}{d z} [- 1]$ です。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z}] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7

$\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - z}$ を ${(4 - z)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d z} [{(4 - z)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.2

$f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ および $g (z) = 4 - z$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.7.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - z$ とします。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [4 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [4 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.2.3

$u$ のすべての発生を $4 - z$ で置き換えます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [4 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.3

総和則では、 $4 - z$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- z]$ です。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.4

$4$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d z} [- z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.5

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $- z$ の微分係数は $- \frac{d}{d z} [z]$ です。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d z} [z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.7.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.13

$0$ から $1$ を引きます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.14

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{{(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.15

$\frac{{(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{{(4 - z)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.16

$- 1$ を ${(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{- 1 \cdot {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.17

$- 1 {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ を $- {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{- {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{- 1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.7.19

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

ステップ 1.3.9

$- \frac{1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{z \to 3} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{z \to 3} 1 (- (2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 1.5

${(4 - z)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{4 - z}$ に書き換えます。

$lim_{z \to 3} 1 (- (2 \sqrt{4 - z}))$

ステップ 1.6

因数をまとめます。

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ステップ 1.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{z \to 3} 1 (- 2 \sqrt{4 - z})$

ステップ 1.6.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{z \to 3} - 2 \sqrt{4 - z}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$- 2$ の項は $z$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z}$

ステップ 2.2

根号の下に極限を移動させます。

$- 2 \sqrt{lim_{z \to 3} 4 - z}$

ステップ 2.3

$z$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 2 \sqrt{lim_{z \to 3} 4 - lim_{z \to 3} z}$

ステップ 2.4

$z$ が $3$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$- 2 \sqrt{4 - lim_{z \to 3} z}$

ステップ 2.5

項を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$z$ を $3$ に代入し、 $z$ の極限値を求めます。

$- 2 \sqrt{4 - 3}$

ステップ 2.5.2

答えを簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$4$ から $3$ を引きます。

$- 2 \sqrt{1}$

ステップ 2.5.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 2.5.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

微分積分 例

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