微分積分例

$\frac{1}{x (x^{2} + 1)}$

ステップ 1

$\frac{1}{x (x^{2} + 1)}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{x (x^{2} + 1)}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{x (x^{2} + 1)} d x$

ステップ 4

部分分数分解を利用して分数を書きます。

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ステップ 4.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 4.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.1.2

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x^{2} + 1)$ です。

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.1.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.1.4

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.1.4.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.1.5.1.2

$A (x^{2} + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.1.5.2

分配則を当てはめます。

$1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.1.5.3

$A$ に $1$ をかけます。

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.1.5.4

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.1.5.4.2

$(B x + C) (x)$ を $1$ で割ります。

$1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

ステップ 4.1.5.5

分配則を当てはめます。

$1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

ステップ 4.1.5.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.6.1

$x$ を移動させます。

$1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

ステップ 4.1.5.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

ステップ 4.1.6

$A$ を移動させます。

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

ステップ 4.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 4.2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 4.2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = C$

ステップ 4.2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A$

ステップ 4.2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

ステップ 4.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式を $C = 0$ として書き換えます。

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

ステップ 4.3.2

方程式を $A = 1$ として書き換えます。

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

ステップ 4.3.3

各方程式の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 4.3.3.1

$0 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 4.3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.2.1

括弧を削除します。

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 4.3.4

$0 = 1 + B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 4.3.4.1

方程式を $1 + B = 0$ として書き換えます。

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 4.3.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

ステップ 4.3.5

連立方程式を解きます。

$B = - 1 A = 1 C = 0$

ステップ 4.3.6

すべての解をまとめます。

$B = - 1, A = 1, C = 0$

ステップ 4.4

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

括弧を削除します。

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{1}{x} + \frac{- x + 0}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.2.2

$- x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |) + C - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 8

$u = x^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = x^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$x^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 8.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 8.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 8.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

ステップ 9.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| x |) + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 11

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| x |) + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

ステップ 12

簡約します。

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{x (x^{2} + 1)}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

微分積分 例

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