微分積分例

$\frac{2 x^{2}}{2 - x^{2}}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x^{2}}{2 - x^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x^{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 2 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(2 - x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

$2$ を $2 - x^{2}$ の左に移動させます。

$2 \frac{2 \cdot (2 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $2 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{2} (2 x)}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x$ を移動させます。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{1 + 2} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{3} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 5

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + 2 \cdot x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 6

$2$ と $\frac{2 (2 - x^{2}) x + 2 x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 (2 (2 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 ((2 \cdot 2 + 2 (- x^{2})) x + 2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 \cdot 2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (2 \cdot 2 x) + 2 (2 (- x^{2}) x) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.4.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 (4 x) + 2 (2 (- x^{2}) x) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 x + 2 (2 (- x^{2}) x) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{8 x + 2 (2 (- (x \cdot x^{2}))) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{8 x + 2 (2 (- (x^{1} x^{2}))) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 x + 2 (2 (- x^{1 + 2})) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{8 x + 2 (2 (- x^{3})) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 x + 2 (- 2 x^{3}) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.5

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 x - 4 x^{3} + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 x - 4 x^{3} + 4 x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.4.2

$8 x - 4 x^{3} + 4 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.4.2.1

$- 4 x^{3}$ と $4 x^{3}$ をたし算します。

$\frac{8 x + 0}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.4.2.2

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{8 x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 7.5

項を並べ替えます。

$\frac{8 x}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$

微分積分 例

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