微分積分例

$e^{2 x} - 3 e^{- x}$

ステップ 1

総和則では、 $e^{2 x} - 3 e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

ステップ 2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

ステップ 2.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 e^{- x}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$2 e^{2 x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$2 e^{2 x} - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 e^{2 x} - 3 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$2 e^{2 x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 e^{2 x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 e^{2 x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 e^{2 x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$2 e^{2 x} - 3 (- e^{- x})$

ステップ 3.8

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$2 e^{2 x} + 3 e^{- x}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$3 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

微分積分 例

微分積分例