微分積分例

$\sqrt{4 + x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{4 + x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \sqrt{4 + x^{2}} d x$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 2 \tan (t)$ とします。次に $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $2 \sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int \sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1.1

積の法則を $2 \tan (t)$ に当てはめます。

$\int \sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\int \sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.3

$4$ を $4 \tan^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.4

$4$ を $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int \sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.5

項を並べ替えます。

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.7

$4 \sec^{2} (t)$ を ${(2 \sec (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 5.2.2

指数を足して $\sec (t)$ に $\sec^{2} (t)$ を掛けます。

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ステップ 5.2.2.1

$\sec^{2} (t)$ を移動させます。

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

ステップ 5.2.2.2

$\sec^{2} (t)$ に $\sec (t)$ をかけます。

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ステップ 5.2.2.2.1

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

ステップ 5.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

ステップ 5.2.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

ステップ 6

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

ステップ 7

$\sec (t)$ を $\sec^{3} (t)$ で因数分解します。

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

ステップ 8

$u = \sec (t)$ と $d v = \sec^{2} (t)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

ステップ 9

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

ステップ 10

$\tan (t)$ を $1$ 乗します。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 12.2

$\tan^{2} (t)$ と $\sec (t)$ を並べ替えます。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

ステップ 13

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (t)$ を $- 1 + \sec^{2} (t)$ に書き換えます。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

ステップ 14

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 14.1

累乗法を積に書き換えます。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 14.3

$\sec (t)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

ステップ 15

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

ステップ 16

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

ステップ 18

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

ステップ 19

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

ステップ 20

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

ステップ 21

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 22

単一積分を複数積分に分割します。

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 23

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 24

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

ステップ 25

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 25.1

分配則を当てはめます。

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 25.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

ステップ 26

$\int \sec^{3} (t) d t$ を解くと、 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ であることが分かります。

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

ステップ 27

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ に $1$ をかけます。

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

ステップ 28

簡約します。

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 29

簡約します。

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ステップ 29.1

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{4}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 29.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 29.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 29.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 29.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 29.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 29.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 29.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

ステップ 30

$t$ のすべての発生を $\arctan (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31

簡約します。

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ステップ 31.1

各項を簡約します。

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ステップ 31.1.1

交点 $(1, \frac{x}{2})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (\frac{x}{2})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \frac{x}{2})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ は $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ です。

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.2

積の法則を $\frac{x}{2}$ に当てはめます。

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.6

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 31.1.6.1

$4 + x^{2}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.6.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.6.3

分数 $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.8

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{4 + x^{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.9

関数の正切と逆正切は逆です。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.10

まとめる。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.11

$2$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.12

各項を簡約します。

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ステップ 31.1.12.1

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.12.2

積の法則を $\frac{x}{2}$ に当てはめます。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.12.3

$2$ を $2$ 乗します。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.12.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.12.5

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.12.6

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 31.1.12.6.1

$4 + x^{2}$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.12.6.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.12.6.3

分数 $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.12.7

累乗根の下から項を取り出します。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.12.8

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{4 + x^{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

ステップ 31.1.12.9

関数の正切と逆正切は逆です。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

ステップ 31.1.13

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

ステップ 31.1.14

絶対値から非負の項を削除します。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

ステップ 31.2

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

ステップ 31.3

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

ステップ 31.4

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

ステップ 31.5

$4$ を $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ の左に移動させます。

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

ステップ 31.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 31.6.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

ステップ 31.6.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 31.6.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

ステップ 32

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$

ステップ 33

答えは関数 $f (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$

微分積分 例

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