微分積分例

$y = x^{\sin (2 x + 1)}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\sin (2 x + 1)})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x^{\sin (2 x + 1)}$ を $e^{\ln (x^{\sin (2 x + 1)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (2 x + 1)})}]$

ステップ 3.1.2

$\sin (2 x + 1)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{\sin (2 x + 1)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (2 x + 1) \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (2 x + 1) \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (2 x + 1) \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1) \ln (x)]$

ステップ 3.3

$f (x) = \sin (2 x + 1)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

ステップ 3.5

$\sin (2 x + 1)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)])$

ステップ 3.6

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x + 1$ とします。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

ステップ 3.6.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

ステップ 3.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]))$

ステップ 3.7

微分します。

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ステップ 3.7.1

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])))$

ステップ 3.7.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

ステップ 3.7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])))$

ステップ 3.7.4

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])))$

ステップ 3.7.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) (2 + 0)))$

ステップ 3.7.6

式を簡約します。

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ステップ 3.7.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (\cos (2 x + 1) \cdot 2))$

ステップ 3.7.6.2

$2$ を $\cos (2 x + 1)$ の左に移動させます。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \ln (x) (2 \cdot \cos (2 x + 1)))$

ステップ 3.8

$\ln (x) (2 \cos (2 x + 1))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\frac{\sin (2 x + 1)}{x} + \frac{\ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x})$

ステップ 3.9

公分母の分子をまとめます。

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \frac{\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x}$

ステップ 3.10

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ と $\frac{\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + \ln (x) (2 \cos (2 x + 1)) x)}{x}$

ステップ 3.11

簡約します。

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ステップ 3.11.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.11.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.11.1.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + 2 \ln (x) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

ステップ 3.11.1.1.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

ステップ 3.11.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x)}{x}$

ステップ 3.11.1.3

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + x e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \ln (x^{2}) \cos (2 x + 1)}{x}$

ステップ 3.11.2

項を並べ替えます。

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})}{x}$

ステップ 3.11.3

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ を $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})$ で因数分解します。

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ステップ 3.11.3.1

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ を $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} \sin (2 x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})}{x}$

ステップ 3.11.3.2

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ を $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

ステップ 3.11.3.3

$e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)}$ を $e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1)) + e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))$ で因数分解します。

$\frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\sin (2 x + 1) \ln (x)} (\sin (2 x + 1) + x \cos (2 x + 1) \ln (x^{2}))}{x}$

微分積分 例

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