微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x} d x$

ステップ 3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して $x^{- 3}$ を分子に移動させます。

$\int x^{3} + 5 x y - \sqrt{x} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{3} d x + \int 5 x y d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int 5 x y d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 6

$5 y$ は $x$ に対して定数なので、 $5 y$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y \int x d x + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \sqrt{x} d x$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int \sqrt{x} d x$

ステップ 9

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 5 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

簡約します。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{5 y x^{2}}{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

ステップ 11.2

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{5 y x^{2}}{2} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{2} y x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{x^{- 3}} + 5 x y - \sqrt{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{5}{2} y x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例