微分積分例

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 1

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

ステップ 4

$u = 1 + \sin (x)$ とします。次に $d u = \cos (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 1 + \sin (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1 + \sin (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $1 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.1.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$0 + \cos (x)$

ステップ 4.1.4

$0$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\cos (x)$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $1 + \sin (x)$ で置き換えます。

$\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

ステップ 7

答えは関数 $f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

微分積分 例