微分積分例

$x \cdot e^{3 x}$

ステップ 1

$x \cdot e^{3 x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x \cdot e^{3 x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x \cdot e^{3 x} d x$

ステップ 4

$u = x$ と $d v = e^{3 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3 x}$ をまとめます。

$x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

ステップ 5.2

$x$ と $\frac{e^{3 x}}{3}$ をまとめます。

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

ステップ 7

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 7.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 7.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 7.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 8

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

ステップ 9

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

ステップ 10.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

ステップ 11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

ステップ 12

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ を $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = x \cdot e^{3 x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

微分積分 例

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