微分積分例

$\int_{- 8}^{4} \frac{14}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 1

$14$ は $x$ に対して定数なので、 $14$ を積分の外に移動させます。

$14 \int_{- 8}^{4} \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 2

$u = 9 - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 9 - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$9 - 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $9 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.1.2.2

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 2.1.4

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 2.2

$u = 9 - 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 9 - 2 \cdot - 8$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$u_{lower} = 9 + 16$

ステップ 2.3.2

$9$ と $16$ をたし算します。

$u_{lower} = 25$

ステップ 2.4

$u = 9 - 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 9 - 2 \cdot 4$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$u_{upper} = 9 - 8$

ステップ 2.5.2

$9$ から $8$ を引きます。

$u_{upper} = 1$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 1$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 3.2

$\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

ステップ 3.3

$2$ を $u^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$14 (- \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u)$

ステップ 5

$- 1$ に $14$ をかけます。

$- 14 \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- 14 (\frac{1}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\frac{1}{2}$ と $- 14$ をまとめます。

$\frac{- 14}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 7.1.2

$- 14$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.2.1

$2$ を $- 14$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 7}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 7.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.1.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 7.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 7.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 7}{1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 7.1.2.2.4

$- 7$ を $1$ で割ります。

$- 7 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

ステップ 7.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.2.1

$u^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- 7 \int_{25}^{1} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 7.2.2

${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 7.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 7.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

ステップ 7.2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

ステップ 7.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- 7 \int_{25}^{1} u^{- \frac{3}{2}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{- \frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ です。

$- 7 (- 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{25}^{1})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$1$ および $25$ で $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$- 7 ((- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 7 (- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 9.2.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 9.2.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 9.2.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 9.2.5

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

ステップ 9.2.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.6.1

共通因数を約分します。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

ステップ 9.2.6.2

式を書き換えます。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{1}})$

ステップ 9.2.7

指数を求めます。

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5})$

ステップ 9.2.8

$2$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$- 7 (- 2 + \frac{2}{5})$

ステップ 9.2.9

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$- 7 (- 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5})$

ステップ 9.2.10

$- 2$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$- 7 (\frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5})$

ステップ 9.2.11

公分母の分子をまとめます。

$- 7 \frac{- 2 \cdot 5 + 2}{5}$

ステップ 9.2.12

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.12.1

$- 2$ に $5$ をかけます。

$- 7 \frac{- 10 + 2}{5}$

ステップ 9.2.12.2

$- 10$ と $2$ をたし算します。

$- 7 (\frac{- 8}{5})$

ステップ 9.2.13

分数の前に負数を移動させます。

$- 7 (- \frac{8}{5})$

ステップ 9.2.14

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$7 (\frac{8}{5})$

ステップ 9.2.15

$7$ と $\frac{8}{5}$ をまとめます。

$\frac{7 \cdot 8}{5}$

ステップ 9.2.16

$7$ に $8$ をかけます。

$\frac{56}{5}$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{56}{5}$

10進法形式：

$11.2$

帯分数形：

$11 \frac{1}{5}$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例