微分積分例

$\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3}$

ステップ 1

$\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $\frac{3}{20} x^{5} - 2 x^{4} + 8 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$\frac{3}{20}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{20} x^{5}$ の微分係数は $\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$5$ と $\frac{3}{20}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.2.4

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.2.5

$\frac{15}{20}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.2.6

$15$ と $20$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.6.1

$5$ を $15 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.6.2.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{4}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{3 x^{4}}{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x^{4}}{4} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.3.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 2.1.1.4

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + 8 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.1.4.3

$3$ に $8$ をかけます。

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $\frac{3 x^{4}}{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$\frac{3}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 x^{4}}{4}$ の微分係数は $\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2.3

$4$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2.5

$\frac{12}{4}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2.6

$12$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.6.1

$4$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 (3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.6.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 (3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.2.6.2.4

$3 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{3}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.3.3

$3$ に $- 8$ をかけます。

$3 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{2}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{3} - 24 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{3} - 24 x^{2} + 24 (2 x)$

ステップ 2.1.2.4.3

$2$ に $24$ をかけます。

$f'' (x) = 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$ です。

$3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$3 x$ を $3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$3 x$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$3 x (x^{2}) - 24 x^{2} + 48 x = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

$3 x$ を $- 24 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 8 x) + 48 x = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

$3 x$ を $48 x$ で因数分解します。

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 8 x) + 3 x (16) = 0$

ステップ 2.2.2.1.4

$3 x$ を $3 x (x^{2}) + 3 x (- 8 x)$ で因数分解します。

$3 x (x^{2} - 8 x) + 3 x (16) = 0$

ステップ 2.2.2.1.5

$3 x$ を $3 x (x^{2} - 8 x) + 3 x (16)$ で因数分解します。

$3 x (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

ステップ 2.2.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$3 x (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

ステップ 2.2.2.2.3

多項式を書き換えます。

$3 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.2.4

$a = x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$3 x {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.2.5

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 2.2.5.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.2.5.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.2.6

最終解は $3 x {(x - 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = 3 {(- 2)}^{3} - 24 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 2) = 3 \cdot - 8 - 24 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 24 - 24 {(- 2)}^{2} + 48 (- 2)$

ステップ 5.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = - 24 - 24 \cdot 4 + 48 (- 2)$

ステップ 5.2.1.4

$- 24$ に $4$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 24 - 96 + 48 (- 2)$

ステップ 5.2.1.5

$48$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 24 - 96 - 96$

ステップ 5.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 24$ から $96$ を引きます。

$f'' (- 2) = - 120 - 96$

ステップ 5.2.2.2

$- 120$ から $96$ を引きます。

$f'' (- 2) = - 216$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 216$ です。

$- 216$

ステップ 5.3

$f'' (- 2)$ が負なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, 4)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = 3 {(2)}^{3} - 24 {(2)}^{2} + 48 (2)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (2) = 3 \cdot 8 - 24 {(2)}^{2} + 48 (2)$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $8$ をかけます。

$f'' (2) = 24 - 24 {(2)}^{2} + 48 (2)$

ステップ 6.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = 24 - 24 \cdot 4 + 48 (2)$

ステップ 6.2.1.4

$- 24$ に $4$ をかけます。

$f'' (2) = 24 - 96 + 48 (2)$

ステップ 6.2.1.5

$48$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = 24 - 96 + 96$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$24$ から $96$ を引きます。

$f'' (2) = - 72 + 96$

ステップ 6.2.2.2

$- 72$ と $96$ をたし算します。

$f'' (2) = 24$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $24$ です。

$24$

ステップ 6.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, 4)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, 4)$ で上に凹します。

ステップ 7

区間 $(4, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f'' (6) = 3 {(6)}^{3} - 24 {(6)}^{2} + 48 (6)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$6$ を $3$ 乗します。

$f'' (6) = 3 \cdot 216 - 24 {(6)}^{2} + 48 (6)$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $216$ をかけます。

$f'' (6) = 648 - 24 {(6)}^{2} + 48 (6)$

ステップ 7.2.1.3

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = 648 - 24 \cdot 36 + 48 (6)$

ステップ 7.2.1.4

$- 24$ に $36$ をかけます。

$f'' (6) = 648 - 864 + 48 (6)$

ステップ 7.2.1.5

$48$ に $6$ をかけます。

$f'' (6) = 648 - 864 + 288$

ステップ 7.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$648$ から $864$ を引きます。

$f'' (6) = - 216 + 288$

ステップ 7.2.2.2

$- 216$ と $288$ をたし算します。

$f'' (6) = 72$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $72$ です。

$72$

ステップ 7.3

$f'' (6)$ が正なので、区間 $(4, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(4, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, 4)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(4, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例