微分積分例

$\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

ステップ 1

$\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{10}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{10} x^{5}$ の微分係数は $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3

$5$ と $\frac{1}{10}$ をまとめます。

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{5}{10}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.5

$5$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$5$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.2.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{3}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{x^{4}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4}}{2} - 3 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $\frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{4}}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.3

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.4

$\frac{4}{2}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.5

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.5.2.4

$2 x^{3}$ を $1$ で割ります。

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{3} - 9 (2 x)$

ステップ 2.2.3.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{3} - 18 x$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 x^{3} - 18 x$ です。

$2 x^{3} - 18 x$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x^{3} - 18 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x^{3} - 18 x = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2 x$ を $2 x^{3} - 18 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

ステップ 3.2.1.2

$2 x$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

ステップ 3.2.1.3

$2 x$ を $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ で因数分解します。

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 3.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 3.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 3.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 3.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.7

最終解は $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3, 3$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 3 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - 3 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.2

$\frac{1}{10}$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$- 3$ を $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot {(- 3)}^{5} - 3 {(- 3)}^{3}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 3$ を $5$ 乗します。

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot - 243 - 3 {(- 3)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.2

$\frac{1}{10}$ と $- 243$ をまとめます。

$f (- 3) = \frac{- 243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 3) = - \frac{243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.4

指数を足して $- 3$ に ${(- 3)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

$- 3$ に ${(- 3)}^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1.1

$- 3$ を $1$ 乗します。

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + (- 3) {(- 3)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{1 + 3}$

ステップ 4.3.2.1.4.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81$

ステップ 4.3.2.2

$81$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{10}{10}$ を掛けます。

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81 \cdot \frac{10}{10}$

ステップ 4.3.2.3

$81$ と $\frac{10}{10}$ をまとめます。

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + \frac{81 \cdot 10}{10}$

ステップ 4.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- 3) = \frac{- 243 + 81 \cdot 10}{10}$

ステップ 4.3.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$81$ に $10$ をかけます。

$f (- 3) = \frac{- 243 + 810}{10}$

ステップ 4.3.2.5.2

$- 243$ と $810$ をたし算します。

$f (- 3) = \frac{567}{10}$

ステップ 4.3.2.6

最終的な答えは $\frac{567}{10}$ です。

$\frac{567}{10}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ で代入して $- 3$ 求めた点は、 $(- 3, \frac{567}{10})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 3, \frac{567}{10})$

ステップ 4.5

$3$ を $f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot {(3)}^{5} - 3 {(3)}^{3}$

ステップ 4.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1

$3$ を $5$ 乗します。

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot 243 - 3 {(3)}^{3}$

ステップ 4.5.2.1.2

$\frac{1}{10}$ と $243$ をまとめます。

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 {(3)}^{3}$

ステップ 4.5.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 \cdot 27$

ステップ 4.5.2.1.4

$- 3$ に $27$ をかけます。

$f (3) = \frac{243}{10} - 81$

ステップ 4.5.2.2

$- 81$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{10}{10}$ を掛けます。

$f (3) = \frac{243}{10} - 81 \cdot \frac{10}{10}$

ステップ 4.5.2.3

$- 81$ と $\frac{10}{10}$ をまとめます。

$f (3) = \frac{243}{10} + \frac{- 81 \cdot 10}{10}$

ステップ 4.5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (3) = \frac{243 - 81 \cdot 10}{10}$

ステップ 4.5.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.5.1

$- 81$ に $10$ をかけます。

$f (3) = \frac{243 - 810}{10}$

ステップ 4.5.2.5.2

$243$ から $810$ を引きます。

$f (3) = \frac{- 567}{10}$

ステップ 4.5.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (3) = - \frac{567}{10}$

ステップ 4.5.2.7

最終的な答えは $- \frac{567}{10}$ です。

$- \frac{567}{10}$

ステップ 4.6

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ で代入して $3$ 求めた点は、 $(3, - \frac{567}{10})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(3, - \frac{567}{10})$

ステップ 4.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- 3, \frac{567}{10}), (3, - \frac{567}{10})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 3.1$ で置換えます。

$f'' (- 3.1) = 2 {(- 3.1)}^{3} - 18 \cdot - 3.1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 3.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3.1) = 2 \cdot - 29.791 - 18 \cdot - 3.1$

ステップ 6.2.1.2

$2$ に $- 29.791$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = - 59.582 - 18 \cdot - 3.1$

ステップ 6.2.1.3

$- 18$ に $- 3.1$ をかけます。

$f'' (- 3.1) = - 59.582 + 55.8$

ステップ 6.2.2

$- 59.582$ と $55.8$ をたし算します。

$f'' (- 3.1) = - 3.782$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 3.782$ です。

$- 3.782$

ステップ 6.3

$- 3.1$ で二次導関数は $- 3.782$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 3)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 3, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{2}$ で置換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 18 (- \frac{3}{2})$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 18 (- \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 18 (- \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.5.1

$- \frac{27}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.5.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 (4)}) - 18 (- \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 \cdot 4}) - 18 (- \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.5.4

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.7.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (\frac{- 3}{2})$

ステップ 7.2.1.7.2

$2$ を $- 18$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{- 3}{2})$

ステップ 7.2.1.7.3

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{- 3}{2}))$

ステップ 7.2.1.7.4

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 9 \cdot - 3$

ステップ 7.2.1.8

$- 9$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27$

ステップ 7.2.2

$27$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.2.3

$27$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 4}{4}$

ステップ 7.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1

$27$ に $4$ をかけます。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{4}$

ステップ 7.2.5.2

$- 27$ と $108$ をたし算します。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4}$

ステップ 7.2.6

最終的な答えは $\frac{81}{4}$ です。

$\frac{81}{4}$

ステップ 7.3

$- \frac{3}{2}$ で二次導関数は $20.25$ です。これは正の値なので、 $(- 3, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 3, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, 3)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{2}$ で置換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 (\frac{3}{2})$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

ステップ 8.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

ステップ 8.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 18 (\frac{3}{2})$

ステップ 8.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 18 (\frac{3}{2})$

ステップ 8.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 18 (\frac{3}{2})$

ステップ 8.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{3}{2})$

ステップ 8.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.5.1

$2$ を $- 18$ で因数分解します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{3}{2})$

ステップ 8.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{3}{2}))$

ステップ 8.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot 3$

ステップ 8.2.1.6

$- 9$ に $3$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27$

ステップ 8.2.2

$- 27$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 8.2.3

$- 27$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4}$

ステップ 8.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 4}{4}$

ステップ 8.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.5.1

$- 27$ に $4$ をかけます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{4}$

ステップ 8.2.5.2

$27$ から $108$ を引きます。

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{4}$

ステップ 8.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{4}$

ステップ 8.2.7

最終的な答えは $- \frac{81}{4}$ です。

$- \frac{81}{4}$

ステップ 8.3

$\frac{3}{2}$ で二次導関数は $- 20.25$ です。これは負の値なので、 $(0, 3)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, 3)$ で減少

ステップ 9

区間 $(3, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $3.1$ で置換えます。

$f'' (3.1) = 2 {(3.1)}^{3} - 18 \cdot 3.1$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$3.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (3.1) = 2 \cdot 29.791 - 18 \cdot 3.1$

ステップ 9.2.1.2

$2$ に $29.791$ をかけます。

$f'' (3.1) = 59.582 - 18 \cdot 3.1$

ステップ 9.2.1.3

$- 18$ に $3.1$ をかけます。

$f'' (3.1) = 59.582 - 55.8$

ステップ 9.2.2

$59.582$ から $55.8$ を引きます。

$f'' (3.1) = 3.782$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $3.782$ です。

$3.782$

ステップ 9.3

$3.1$ で二次導関数は $3.782$ です。これは正の値なので、 $(3, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(3, \infty)$ で増加

ステップ 10

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$ です。

$(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例