微分積分例

$y \cdot 2^{y} = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y \cdot 2^{y}) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = y$ および $g (x) = 2^{y}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y \frac{d}{d x} [2^{y}] + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$f (x) = 2^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$y (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$y (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$y (2^{y} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

項を並べ替えます。

$2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$

ステップ 2.5.2

$2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$ の因数を並べ替えます。

$y \cdot 2^{y} \ln (2) y' + 2^{y} y'$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y' = 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y' = 1$

ステップ 5.1.2

$\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y'$ の因数を並べ替えます。

$y y' \cdot 2^{y} \ln (2) + y' \cdot 2^{y} = 1$

ステップ 5.2

$y' \cdot 2^{y}$ を $y y' \cdot (2^{y} \ln (2)) + y' \cdot 2^{y}$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y' \cdot 2^{y}$ を $y y' \cdot (2^{y} \ln (2))$ で因数分解します。

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot 2^{y} = 1$

ステップ 5.2.2

$y' \cdot 2^{y}$ を $y' \cdot 2^{y}$ で因数分解します。

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot (2^{y} (1)) = 1$

ステップ 5.2.3

$y' \cdot 2^{y}$ を $y' \cdot 2^{y} (y \cdot \ln (2)) + y' \cdot 2^{y} \cdot 1$ で因数分解します。

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2) + 1)) = 1$

ステップ 5.3

$y$ に $\ln (2)$ をかけます。

$y' \cdot (2^{y} (y (\ln (2)) + 1)) = 1$

ステップ 5.4

$y$ に $\ln (2)$ をかけます。

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$

ステップ 5.5

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ の各項を $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ の各項を $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ で割ります。

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$2^{y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

ステップ 5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

ステップ 5.5.2.2

$y \ln (2) + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

ステップ 5.5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

微分積分 例

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