微分積分例

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 5}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x^{2} + 5}$ を ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x^{2} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 5$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 4.1.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 4.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 4.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 4.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 4.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 4.6

分数をまとめます。

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ステップ 4.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 4.6.2

$\frac{1}{3}$ と ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 4.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

ステップ 4.7

総和則では、 $x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 4.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 4.9

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)$

ステップ 4.10

分数をまとめます。

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ステップ 4.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)$

ステップ 4.10.2

$2$ と $\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} x$

ステップ 4.10.3

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例