微分積分例

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 7 \cot^{2} (x) d x$

ステップ 1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (x) d x$

ステップ 2

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cot^{2} (x)$ を $- 1 + \csc^{2} (x)$ に書き換えます。

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (x) d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$7 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

ステップ 5

$- \cot (x)$ の微分係数が $\csc^{2} (x)$ なので、 $\csc^{2} (x)$ の積分は $- \cot (x)$ です。

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ と $- \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ をまとめます。

$7 (- x - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

ステップ 6.2

$\frac{π}{2}$ および $\frac{π}{6}$ で $- x - \cot (x)$ の値を求めます。

$7 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

ステップ 6.3.2

$\cot (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

ステップ 6.3.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$7 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

ステップ 6.3.4

$- \frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

ステップ 6.3.5

$- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 6.3.6

$- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$7 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

ステップ 6.3.7

公分母の分子をまとめます。

$7 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

ステップ 6.3.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$7 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.3.9

$7$ と $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ をまとめます。

$\frac{7 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 6.3.10

$- 1$ を $- π$ で因数分解します。

$\frac{7 (- (π) - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 6.3.11

$- 1$ を $- 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ で因数分解します。

$\frac{7 (- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

ステップ 6.3.12

$- 1$ を $- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ で因数分解します。

$\frac{7 (- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

ステップ 6.3.13

$- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ を $- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ に書き換えます。

$\frac{7 (- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

ステップ 6.3.14

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 6.4

簡約します。

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ステップ 6.4.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6}) + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 6.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1

$- \frac{π}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{6} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 6.4.2.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 (3)} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 6.4.2.3

共通因数を約分します。

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 \cdot 3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 6.4.2.4

式を書き換えます。

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

ステップ 6.4.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7 (π - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.4.5

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{7 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.4.6

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.4.7

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3 - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.4.8

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$- \frac{7 (\frac{3 \cdot π - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.4.9

$3 π$ から $π$ を引きます。

$- \frac{7 (\frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.4.10

分配則を当てはめます。

$- \frac{7 \frac{2 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.4.11

$7 \frac{2 π}{3}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.11.1

$7$ と $\frac{2 π}{3}$ をまとめます。

$- \frac{\frac{7 (2 π)}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.4.11.2

$2$ に $7$ をかけます。

$- \frac{\frac{14 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.4.12

$- 2$ に $7$ をかけます。

$- \frac{\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.4.13

$\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.13.1

$2$ を $\frac{14 π}{3}$ で因数分解します。

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.4.13.2

$2$ を $- 14 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.4.13.3

$2$ を $2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})$ で因数分解します。

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2}$

ステップ 6.4.13.4

共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.13.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 (1)}$

ステップ 6.4.13.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.13.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}}{1}$

ステップ 6.4.13.4.4

$\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$- (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})$

ステップ 6.4.14

分配則を当てはめます。

$- \frac{7 π}{3} - (- 7 \sqrt{3})$

ステップ 6.4.15

$- 7$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

10進法形式：

$4.79397279 \dots$

微分積分 例

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