微分積分例

$\int_{0}^{2} \frac{x^{2} - 2}{x + 1} d x$

ステップ 1

$x^{2} - 2$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

ステップ 1.2

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + x$ の符号をすべて変更します。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$

ステップ 1.7

被除数 $- x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$

ステップ 1.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					-	$x$	-	$1$

ステップ 1.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- x - 1$ の符号をすべて変更します。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					+	$x$	+	$1$

ステップ 1.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$2$
					+	$x$	+	$1$
							-	$1$

ステップ 1.11

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\int_{0}^{2} x - 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 6

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 6.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 6.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 6.2

$u = x + 1$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 6.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 6.4

$u = x + 1$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 + 1$

ステップ 6.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 3$

ステップ 6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

ステップ 6.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2} + - x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

ステップ 8

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}$ と $- x]_{0}^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$2$ および $0$ で $\frac{1}{2} x^{2} - x$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

ステップ 9.2

$3$ および $1$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.2

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.3.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.5

$2$ から $2$ を引きます。

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.7

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0 - (0 - 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.8

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 - (0 + 0) - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.9

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.10

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.11

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

ステップ 9.3.12

$0$ から $\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)$ を引きます。

$- (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 10

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$- \ln (\frac{3}{| 1 |})$

ステップ 11.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$- \ln (\frac{3}{1})$

ステップ 11.3

$3$ を $1$ で割ります。

$- \ln (3)$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \ln (3)$

10進法形式：

$- 1.09861228 \dots$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例