微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{7 - 7 \cos (x)}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 7 - 7 \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 7 - lim_{x \to 0} 7 \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{7 - lim_{x \to 0} 7 \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.3

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{7 - 7 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{7 - 7 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{7 - 7 \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{7 - 7 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 7$ に $1$ をかけます。

$\frac{7 - 7}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$7$ から $7$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{7 - 7 \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 - 7 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 - 7 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $7 - 7 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 7 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 \cos (x)$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 7 (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 7 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5

$0$ と $7 \sin (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{7 \sin (x)}{1}$

ステップ 1.4

$7 \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} 7 \sin (x)$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$7 lim_{x \to 0} \sin (x)$

ステップ 2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$7 \sin (lim_{x \to 0} x)$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$7 \sin (0)$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$7 \cdot 0$

ステップ 4.2

$7$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

微分積分例