微分積分例

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

ステップ 1

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} d x$

ステップ 4

$u_{2} = 1 + e^{- x}$ とします。次に $d u_{2} = - e^{- x} d x$ すると、 $- \frac{1}{e^{- x}} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = 1 + e^{- x}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1 + e^{- x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

ステップ 4.1.2

微分します。

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ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $1 + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 4.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$0 + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 4.1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 4.1.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$0 - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 4.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$0 - e^{- x}$

ステップ 4.1.4

$0$ から $e^{- x}$ を引きます。

$- e^{- x}$

ステップ 4.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 5

分数を複数の分数に分割します。

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 6

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 8

簡約します。

$- \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 9

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + e^{- x}$ で置き換えます。

$- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

微分積分 例

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