微分積分例

$(5 x + 1) e^{x}$

ステップ 1

$(5 x + 1) e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = (5 x + 1) e^{x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int (5 x + 1) e^{x} d x$

ステップ 4

$u = 5 x + 1$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$(5 x + 1) e^{x} - \int e^{x} \cdot 5 d x$

ステップ 5

$5$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$(5 x + 1) e^{x} - \int 5 e^{x} d x$

ステップ 6

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$(5 x + 1) e^{x} - (5 \int e^{x} d x)$

ステップ 7

$5$ に $- 1$ をかけます。

$(5 x + 1) e^{x} - 5 \int e^{x} d x$

ステップ 8

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$(5 x + 1) e^{x} - 5 (e^{x} + C)$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$(5 x + 1) e^{x} - 5 (e^{x} + C)$ を $5 x e^{x} + e^{x} - 5 e^{x} + C$ に書き換えます。

$5 x e^{x} + e^{x} - 5 e^{x} + C$

ステップ 9.2

$e^{x}$ から $5 e^{x}$ を引きます。

$5 x e^{x} - 4 e^{x} + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = (5 x + 1) e^{x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $5 x e^{x} - 4 e^{x} + C$

微分積分 例