微分積分例

$y = 4 - 6 x + x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $4 - 6 x + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.2.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$0 - 6 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 6 + 3 x^{2}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$0$ から $6$ を引きます。

$- 6 + 3 x^{2}$

ステップ 1.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 6$ です。

$3 x^{2} - 6$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 6 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$3 x^{2} = 6$

ステップ 2.3

$3 x^{2} = 6$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$3 x^{2} = 6$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{6}{3}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$6$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 2$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 - 6 x + x^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \sqrt{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sqrt{2}$ を $x$ に代入します。

$4 - 6 \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2^{3}}$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{8}$

ステップ 4.1.2.1.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.2.1.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{4 (2)}$

ステップ 4.1.2.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$4 - 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 4.1.2.2

$- 6 \sqrt{2}$ と $2 \sqrt{2}$ をたし算します。

$4 - 4 \sqrt{2}$

ステップ 4.2

$x = - \sqrt{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- \sqrt{2}$ を $x$ に代入します。

$4 - 6 (- \sqrt{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$4 + 6 \sqrt{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.2

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$4 + 6 \sqrt{2} + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$4 + 6 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.4

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{2^{3}}$

ステップ 4.2.2.1.5

$2$ を $3$ 乗します。

$4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{8}$

ステップ 4.2.2.1.6

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.2.1.6.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{4 (2)}$

ステップ 4.2.2.1.6.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 4.2.2.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$4 + 6 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2})$

ステップ 4.2.2.1.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 + 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

ステップ 4.2.2.2

$6 \sqrt{2}$ から $2 \sqrt{2}$ を引きます。

$4 + 4 \sqrt{2}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(\sqrt{2}, 4 - 4 \sqrt{2}), (- \sqrt{2}, 4 + 4 \sqrt{2})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例