微分積分例

$y = 4 - 6 x + x^{3}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 - 6 x + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.2.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$0 - 6 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 6 + 3 x^{2}$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$0$ から $6$ を引きます。

$- 6 + 3 x^{2}$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$3 x^{2} - 6$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 x + 0$

ステップ 2.3.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 x^{2} - 6 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $4 - 6 x + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.1.1.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.1.2.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$0 - 6 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 6 + 3 x^{2}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$0$ から $6$ を引きます。

$- 6 + 3 x^{2}$

ステップ 4.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 6$ です。

$3 x^{2} - 6$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 6 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$3 x^{2} = 6$

ステップ 5.3

$3 x^{2} = 6$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3 x^{2} = 6$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{6}{3}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$6$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 2$

ステップ 5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 8

$x = \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (\sqrt{2})$

ステップ 9

$6$ に $\sqrt{2}$ をかけます。

$6 \sqrt{2}$

ステップ 10

$x = \sqrt{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \sqrt{2}$ は極小値です

ステップ 11

$x = \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $\sqrt{2}$ で置換えます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + {(\sqrt{2})}^{3}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2^{3}}$

ステップ 11.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{8}$

ステップ 11.2.1.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{4 (2)}$

ステップ 11.2.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 11.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

ステップ 11.2.2

$- 6 \sqrt{2}$ と $2 \sqrt{2}$ をたし算します。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \sqrt{2}$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $4 - 4 \sqrt{2}$ です。

$y = 4 - 4 \sqrt{2}$

ステップ 12

$x = - \sqrt{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 (- \sqrt{2})$

ステップ 13

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 6 \sqrt{2}$

ステップ 14

$x = - \sqrt{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \sqrt{2}$ は極大値です

ステップ 15

$x = - \sqrt{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 6 (- \sqrt{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}$

ステップ 15.2.1.2

積の法則を $- \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

ステップ 15.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{3}$

ステップ 15.2.1.4

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{2^{3}}$

ステップ 15.2.1.5

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{8}$

ステップ 15.2.1.6

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.6.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{4 (2)}$

ステップ 15.2.1.6.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 15.2.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2})$

ステップ 15.2.1.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

ステップ 15.2.2

$6 \sqrt{2}$ から $2 \sqrt{2}$ を引きます。

$f (- \sqrt{2}) = 4 + 4 \sqrt{2}$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $4 + 4 \sqrt{2}$ です。

$y = 4 + 4 \sqrt{2}$

ステップ 16

$f (x) = 4 - 6 x + x^{3}$ の極値です。

$(\sqrt{2}, 4 - 4 \sqrt{2})$ は極小値です

$(- \sqrt{2}, 4 + 4 \sqrt{2})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例