微分積分例

$y = \frac{\sqrt{4 + 6 x^{3}}}{\cos^{3} (x)}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 + 6 x^{3}}$ を ${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{\cos^{3} (x)}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{\cos^{3} (x)})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ を $\sec^{3} (x)$ に変換します。

$\frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x)]$

ステップ 4.2

$f (x) = {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \sec^{3} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec^{3} (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (x)$ とします。

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (3 \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.4

$3$ を ${(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$3 \cdot {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.5

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.6

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \tan (x) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} {\sec (x)}^{1 + 2} \tan (x) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.8

$1$ と $2$ をたし算します。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.9

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 + 6 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.9.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 + 6 x^{3}$ とします。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

ステップ 4.9.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

ステップ 4.9.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 + 6 x^{3}$ で置き換えます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

ステップ 4.10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

ステップ 4.11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

ステップ 4.12

公分母の分子をまとめます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

ステップ 4.13

分子を簡約します。

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ステップ 4.13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

ステップ 4.13.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

ステップ 4.14

分数をまとめます。

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ステップ 4.14.1

分数の前に負数を移動させます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2} {(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

ステップ 4.14.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{{(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

ステップ 4.14.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 + 6 x^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \sec^{3} (x) (\frac{1}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}])$

ステップ 4.14.4

$\frac{1}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ と $\sec^{3} (x)$ をまとめます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + 6 x^{3}]$

ステップ 4.15

総和則では、 $4 + 6 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ です。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}])$

ステップ 4.16

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [6 x^{3}])$

ステップ 4.17

$0$ と $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ をたし算します。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$

ステップ 4.18

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{3}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.19

項を簡約します。

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ステップ 4.19.1

$6$ と $\frac{\sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{6 \sec^{3} (x)}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.19.2

$2$ を $6 \sec^{3} (x)$ で因数分解します。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{2 (3 \sec^{3} (x))}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.20

共通因数を約分します。

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ステップ 4.20.1

$2$ を $2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{2 (3 \sec^{3} (x))}{2 ({(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.20.2

共通因数を約分します。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{2 (3 \sec^{3} (x))}{2 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.20.3

式を書き換えます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{3 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 4.21

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{3 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2})$

ステップ 4.22

分数をまとめます。

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ステップ 4.22.1

$3$ と $\frac{3 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{3 (3 \sec^{3} (x))}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

ステップ 4.22.2

$3$ に $3$ をかけます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{9 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} x^{2}$

ステップ 4.22.3

$\frac{9 \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x) + \frac{9 \sec^{3} (x) x^{2}}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23

簡約します。

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ステップ 4.23.1

項を並べ替えます。

$\frac{9 \sec^{3} (x) x^{2}}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 \sec^{3} (x) {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \tan (x)$

ステップ 4.23.2

$\frac{9 \sec^{3} (x) x^{2}}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 \sec^{3} (x) {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \tan (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{9 x^{2} \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x)$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{9 x^{2} \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x)$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{2} \sec^{3} (x)}{{(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 + 6 x^{3})}^{\frac{1}{2}} \sec^{3} (x) \tan (x)$

微分積分 例

微分積分例