微分積分例

$y = 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = 2^{5 x}$ および $g (x) = 3^{4 x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2^{5 x} \frac{d}{d x} [3^{4 x^{2}}] + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

ステップ 2

$f (x) = 3^{x}$ および $g (x) = 4 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x^{2}$ とします。

$2^{5 x} (\frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

ステップ 2.2

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2^{5 x} (3^{u_{1}} \ln (3) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x^{2}$ で置き換えます。

$2^{5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

ステップ 3

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2^{5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

ステップ 3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2^{2} \cdot 2^{5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (\frac{d}{d x} [x^{2}])) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

ステップ 4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (\frac{d}{d x} [x^{2}])) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

ステップ 5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (2 x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

ステップ 6

指数を足して $2^{2 + 5 x}$ に $2$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$2$ を移動させます。

$2 \cdot 2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

ステップ 6.2

$2$ に $2^{2 + 5 x}$ をかけます。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $1$ 乗します。

$2^{1} \cdot 2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

ステップ 6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{1 + 2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

ステップ 6.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

ステップ 7

$f (x) = 2^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [2^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 7.2

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{u_{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 7.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 8

微分します。

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ステップ 8.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) (5 \cdot 1))$

ステップ 8.3

式を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) \cdot 5)$

ステップ 8.3.2

$5$ を $2^{5 x} \ln (2)$ の左に移動させます。

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (5 \cdot (2^{5 x} \ln (2)))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

項を並べ替えます。

$3^{4 x^{2}} \cdot 2^{3 + 5 x} x \ln (3) + 5 \cdot 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}} \ln (2)$

ステップ 9.2

$3^{4 x^{2}} \cdot 2^{3 + 5 x} x \ln (3) + 5 \cdot 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}} \ln (2)$ の因数を並べ替えます。

$x \cdot 3^{4 x^{2}} \cdot 2^{3 + 5 x} \ln (3) + 5 \cdot 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}} \ln (2)$

微分積分 例

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