微分積分例

$f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $- \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- \frac{3}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{5} x^{5}$ の微分係数は $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.4

$- 5$ と $\frac{3}{5}$ をまとめます。

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.5

$- 5$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.6

$\frac{- 15}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.7

$- 15$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

$5$ を $- 15 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.2.7.2.4

$- 3 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{4}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 3 x^{4} + 9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{4} + 9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.3.3

$4$ に $9$ をかけます。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 35 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 35$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 35 x^{3}$ の微分係数は $- 35 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.4.3

$3$ に $- 35$ をかけます。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + 0$

ステップ 1.5.2

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 105 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{4}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

ステップ 2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

ステップ 2.2.3

$4$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [36 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $36 x^{3}$ の微分係数は $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 36 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

ステップ 2.3.3

$3$ に $36$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 105 x^{2})$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 105 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 105$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 105 x^{2}$ の微分係数は $- 105 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 105 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 105 (2 x)$

ステップ 2.4.3

$2$ に $- 105$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 108 x^{2} - 210 x$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- \frac{3}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{5} x^{5}$ の微分係数は $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.4

$- 5$ と $\frac{3}{5}$ をまとめます。

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.5

$- 5$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.6

$\frac{- 15}{5}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.7

$- 15$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$5$ を $- 15 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.2.7.2.4

$- 3 x^{4}$ を $1$ で割ります。

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{4}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- 3 x^{4} + 9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{4} + 9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.3.3

$4$ に $9$ をかけます。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 35 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 35 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 35$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 35 x^{3}$ の微分係数は $- 35 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 35 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.4.3

$3$ に $- 35$ をかけます。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} + 0$

ステップ 4.1.5.2

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ です。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 3 x^{2}$ を $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 3 x^{2}$ を $- 3 x^{4}$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} x^{2} + 36 x^{3} - 105 x^{2} = 0$

ステップ 5.2.1.2

$- 3 x^{2}$ を $36 x^{3}$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} (- 12 x) - 105 x^{2} = 0$

ステップ 5.2.1.3

$- 3 x^{2}$ を $- 105 x^{2}$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} (- 12 x) - 3 x^{2} \cdot 35 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$- 3 x^{2}$ を $- 3 x^{2} (x^{2}) - 3 x^{2} (- 12 x)$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x) - 3 x^{2} \cdot 35 = 0$

ステップ 5.2.1.5

$- 3 x^{2}$ を $- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x) - 3 x^{2} (35)$ で因数分解します。

$- 3 x^{2} (x^{2} - 12 x + 35) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 12 x + 35$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $35$ で、その和が $- 12$ です。

$- 7, - 5$

ステップ 5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 3 x^{2} ((x - 7) (x - 5)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- 3 x^{2} (x - 7) (x - 5) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 5.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 5.6

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 5.7

最終解は $- 3 x^{2} (x - 7) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 7, 5$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 7, 5$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 {(0)}^{3} + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 12 \cdot 0 + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

ステップ 9.1.2

$- 12$ に $0$ をかけます。

$0 + 108 {(0)}^{2} - 210 \cdot 0$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 108 \cdot 0 - 210 \cdot 0$

ステップ 9.1.4

$108$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 210 \cdot 0$

ステップ 9.1.5

$- 210$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

ステップ 9.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 9.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 10

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 10.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 5) \cup (5, 7) \cup (7, \infty)$

ステップ 10.2

一次導関数 $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 10.2.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{4} + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f' (- 2) = - 3 \cdot 16 + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.2

$- 3$ に $16$ をかけます。

$f' (- 2) = - 48 + 36 {(- 2)}^{3} - 105 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = - 48 + 36 \cdot - 8 - 105 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.4

$36$ に $- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 105 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.2.1.5

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 105 \cdot 4$

ステップ 10.2.2.1.6

$- 105$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = - 48 - 288 - 420$

ステップ 10.2.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$- 48$ から $288$ を引きます。

$f' (- 2) = - 336 - 420$

ステップ 10.2.2.2.2

$- 336$ から $420$ を引きます。

$f' (- 2) = - 756$

ステップ 10.2.2.3

最終的な答えは $- 756$ です。

$- 756$

ステップ 10.3

一次導関数 $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ の区間 $(0, 5)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = - 3 {(2)}^{4} + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

ステップ 10.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$f' (2) = - 3 \cdot 16 + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.2

$- 3$ に $16$ をかけます。

$f' (2) = - 48 + 36 {(2)}^{3} - 105 {(2)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (2) = - 48 + 36 \cdot 8 - 105 {(2)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.4

$36$ に $8$ をかけます。

$f' (2) = - 48 + 288 - 105 {(2)}^{2}$

ステップ 10.3.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = - 48 + 288 - 105 \cdot 4$

ステップ 10.3.2.1.6

$- 105$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = - 48 + 288 - 420$

ステップ 10.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.2.1

$- 48$ と $288$ をたし算します。

$f' (2) = 240 - 420$

ステップ 10.3.2.2.2

$240$ から $420$ を引きます。

$f' (2) = - 180$

ステップ 10.3.2.3

最終的な答えは $- 180$ です。

$- 180$

ステップ 10.4

一次導関数 $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ の区間 $(5, 7)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = - 3 {(6)}^{4} + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

ステップ 10.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1.1

$6$ を $4$ 乗します。

$f' (6) = - 3 \cdot 1296 + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.2

$- 3$ に $1296$ をかけます。

$f' (6) = - 3888 + 36 {(6)}^{3} - 105 {(6)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.3

$6$ を $3$ 乗します。

$f' (6) = - 3888 + 36 \cdot 216 - 105 {(6)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.4

$36$ に $216$ をかけます。

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 105 {(6)}^{2}$

ステップ 10.4.2.1.5

$6$ を $2$ 乗します。

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 105 \cdot 36$

ステップ 10.4.2.1.6

$- 105$ に $36$ をかけます。

$f' (6) = - 3888 + 7776 - 3780$

ステップ 10.4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.2.1

$- 3888$ と $7776$ をたし算します。

$f' (6) = 3888 - 3780$

ステップ 10.4.2.2.2

$3888$ から $3780$ を引きます。

$f' (6) = 108$

ステップ 10.4.2.3

最終的な答えは $108$ です。

$108$

ステップ 10.5

一次導関数 $- 3 x^{4} + 36 x^{3} - 105 x^{2}$ の区間 $(7, \infty)$ から $10$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

式の変数 $x$ を $10$ で置換えます。

$f' (10) = - 3 {(10)}^{4} + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

ステップ 10.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1.1

$10$ を $4$ 乗します。

$f' (10) = - 3 \cdot 10000 + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.2

$- 3$ に $10000$ をかけます。

$f' (10) = - 30000 + 36 {(10)}^{3} - 105 {(10)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.3

$10$ を $3$ 乗します。

$f' (10) = - 30000 + 36 \cdot 1000 - 105 {(10)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.4

$36$ に $1000$ をかけます。

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 105 {(10)}^{2}$

ステップ 10.5.2.1.5

$10$ を $2$ 乗します。

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 105 \cdot 100$

ステップ 10.5.2.1.6

$- 105$ に $100$ をかけます。

$f' (10) = - 30000 + 36000 - 10500$

ステップ 10.5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.1

$- 30000$ と $36000$ をたし算します。

$f' (10) = 6000 - 10500$

ステップ 10.5.2.2.2

$6000$ から $10500$ を引きます。

$f' (10) = - 4500$

ステップ 10.5.2.3

最終的な答えは $- 4500$ です。

$- 4500$

ステップ 10.6

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 10.7

$x = 5$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 5$ は極小値です。

$x = 5$ は極小値です

ステップ 10.8

$x = 7$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 7$ は極大値です。

$x = 7$ は極大値です

ステップ 10.9

$f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 9 x^{4} - 35 x^{3} + 6$ の極値です。

$x = 5$ は極小値です

$x = 7$ は極大値です

$x = 5$ は極小値です

$x = 7$ は極大値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例