微分積分例

$\int_{0}^{\sqrt[3]{π}} x^{2} \cos (x^{3}) d x$

ステップ 1

$u = x^{3}$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2}$

ステップ 1.2

$u = x^{3}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{3}$

ステップ 1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = x^{3}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = {\sqrt[3]{π}}^{3}$

ステップ 1.5

${\sqrt[3]{π}}^{3}$ を $π$ に書き換えます。

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ステップ 1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{π}$ を $π^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{3}})}^{3}$

ステップ 1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$u_{upper} = π^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

ステップ 1.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$u_{upper} = π^{\frac{3}{3}}$

ステップ 1.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.1

共通因数を約分します。

$u_{upper} = π^{\frac{3}{3}}$

ステップ 1.5.4.2

式を書き換えます。

$u_{upper} = π^{1}$

ステップ 1.5.5

簡約します。

$u_{upper} = π$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 2

$\cos (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{3} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

ステップ 4

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{π}$

ステップ 5

$π$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} (\sin (π) - \sin (0))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{3} (\sin (π) - 0)$

ステップ 6.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\sin (π) + 0)$

ステップ 6.3

$\sin (π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} \sin (π)$

ステップ 6.4

$\frac{1}{3}$ と $\sin (π)$ をまとめます。

$\frac{\sin (π)}{3}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{\sin (0)}{3}$

ステップ 7.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{3}$

ステップ 7.2

$0$ を $3$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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