微分積分例

$\int \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

ステップ 2

$x^{3}$ を $x^{2} - 4$ で割ります。

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ステップ 2.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 2.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

ステップ 2.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

ステップ 2.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 0 - 4 x$ の符号をすべて変更します。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

ステップ 2.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

ステップ 2.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$0$

ステップ 2.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$2 \int x + \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$2 (\int x d x + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

ステップ 4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

ステップ 5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{x}{x^{2} - 4} d x)$

ステップ 6

$u = x^{2} - 4$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = x^{2} - 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$x^{2} - 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 6.1.2

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 6.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 6.1.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 6.1.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 6.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

ステップ 7.2

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 \cdot u} d u)$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 u} d u)$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 9.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 9.2.2.3

式を書き換えます。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 9.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 10

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 (\ln (| u |) + C))$

ステップ 11

簡約します。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| u |)) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

ステップ 13.2

$2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot \frac{2}{2}) + C$

ステップ 13.3

$2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2}) + C$

ステップ 13.4

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 13.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.5.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 13.5.2

式を書き換えます。

$x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2 + C$

ステップ 13.6

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} + 4 \ln (| x^{2} - 4 |) + C$

微分積分 例

微分積分例