微分積分例

$\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

ステップ 1

$\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

ステップ 5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

ステップ 6.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

ステップ 6.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

ステップ 6.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

ステップ 6.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

ステップ 8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

ステップ 9

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 e^{- x} d x$

ステップ 10

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int e^{- x} d x$

ステップ 11

$u = - x$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 11.1

$u = - x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 11.1.1

$- x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 11.1.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 11.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int - e^{u} d u$

ステップ 12

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- \int e^{u} d u)$

ステップ 13

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 \int e^{u} d u$

ステップ 14

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 (e^{u} + C)$

ステップ 15

簡約します。

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{u} + C$

ステップ 16

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$

ステップ 17

答えは関数 $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$

微分積分 例

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