微分積分例

$\sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}}$ を ${(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

ステップ 8

$f (x) = x^{2} - 3 x$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x] - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9

微分します。

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ステップ 9.1

総和則では、 $x^{2} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.3

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3 \cdot 1) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.5

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.6

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.9

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.11

分数をまとめます。

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ステップ 9.11.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.11.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 9.11.3

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.11.4

$2$ を ${(2 x + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{2 \cdot {(2 x + 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{2 {(2 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x + 1}{x^{2} - 3 x})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 10.2

積の法則を $\frac{2 x + 1}{x^{2} - 3 x}$ に当てはめます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{2 {(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} - 2 (- 3 x)}{2 {(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4

項をまとめます。

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ステップ 10.4.1

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4.2

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{2}}$ に $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{((2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x) {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x + 1)}^{2} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4.3

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{2} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4.4

指数を足して ${(2 x + 1)}^{2}$ に ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.4.4.1

${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 ({(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{2}) {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4.4.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4.4.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4.4.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.4.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4.4.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 x^{2} + (2 x + 1) (2 x - 3) + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6

分子を簡約します。

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ステップ 10.6.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 1) (2 x - 3)$ を展開します。

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ステップ 10.6.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x (2 x - 3) + 1 (2 x - 3) + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x - 3) + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 10.6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 10.6.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.2.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.2.1.4

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.2.1.5

$2 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x + 2 x + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.2.1.6

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x + 2 x - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.2.2

$- 6 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.3

$- 2 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.4

$- 4 x$ と $6 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 3}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例