微分積分例

$\int \frac{9}{2 {(9 - 2 x)}^{\frac{1}{4}}} d x$

ステップ 1

$\frac{9}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{9}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{1}{4}}} d x$

ステップ 2

$u = 9 - 2 x$ とします。次に $d u = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 9 - 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$9 - 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

ステップ 2.1.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $9 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.1.2.2

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$0 - 2$

ステップ 2.1.4

$0$ から $2$ を引きます。

$- 2$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 3.2

$\frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{9}{2} \int - \frac{1}{u^{\frac{1}{4}} \cdot 2} d u$

ステップ 3.3

$2$ を $u^{\frac{1}{4}}$ の左に移動させます。

$\frac{9}{2} \int - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{4}}} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{9}{2} (- \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{4}}} d u)$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{9}{2} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u))$

ステップ 6

式を簡約します。

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ステップ 6.1

簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{9}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{9}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

ステップ 6.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{9}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

ステップ 6.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.2.1

$u^{\frac{1}{4}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{9}{4} \int {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

ステップ 6.2.2

${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{9}{4} \int u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

ステップ 6.2.2.2

$\frac{1}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{9}{4} \int u^{\frac{- 1}{4}} d u$

ステップ 6.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9}{4} \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{4}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ です。

$- \frac{9}{4} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$- \frac{9}{4} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$ を $- \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\frac{4}{3}$ に $\frac{9}{4}$ をかけます。

$- \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{4}} + C$

ステップ 8.2.2

$4$ に $9$ をかけます。

$- \frac{36}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{4}} + C$

ステップ 8.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$- \frac{36}{12} u^{\frac{3}{4}} + C$

ステップ 8.2.4

$36$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.4.1

$12$ を $36$ で因数分解します。

$- \frac{12 \cdot 3}{12} u^{\frac{3}{4}} + C$

ステップ 8.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.4.2.1

$12$ を $12$ で因数分解します。

$- \frac{12 \cdot 3}{12 (1)} u^{\frac{3}{4}} + C$

ステップ 8.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{12 \cdot 3}{12 \cdot 1} u^{\frac{3}{4}} + C$

ステップ 8.2.4.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{3}{1} u^{\frac{3}{4}} + C$

ステップ 8.2.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$- 1 \cdot 3 u^{\frac{3}{4}} + C$

ステップ 8.2.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 u^{\frac{3}{4}} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $9 - 2 x$ で置き換えます。

$- 3 {(9 - 2 x)}^{\frac{3}{4}} + C$

微分積分 例

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