微分積分例

${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - \sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

ステップ 1.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 - \sin (x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

ステップ 3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

ステップ 5.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

ステップ 6.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.1

${(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{{(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

ステップ 6.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

ステップ 6.3

総和則では、 $1 - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

ステップ 6.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

ステップ 6.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

ステップ 6.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 6.7

掛け算します。

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ステップ 6.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 6.7.2

$\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 7

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \cos (x)$

ステップ 8

$\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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