微分積分例

$\int 8 {(4 x^{2} - 5)}^{9} x d x$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$8 \int {(4 x^{2} - 5)}^{9} x d x$

ステップ 2

$u = 4 x^{2} - 5$ とします。次に $d u = 8 x d x$ すると、 $\frac{1}{8} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 4 x^{2} - 5$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$4 x^{2} - 5$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $4 x^{2} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$8 x + 0$

ステップ 2.1.4.2

$8 x$ と $0$ をたし算します。

$8 x$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$8 \int u^{9} \frac{1}{8} d u$

ステップ 3

$u^{9}$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$8 \int \frac{u^{9}}{8} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{8}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$8 (\frac{1}{8} \int u^{9} d u)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{8}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{8} \int u^{9} d u$

ステップ 5.2

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{8}{8} \int u^{9} d u$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$1 \int u^{9} d u$

ステップ 5.3

$\int u^{9} d u$ に $1$ をかけます。

$\int u^{9} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{9}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{10} u^{10}$ です。

$\frac{1}{10} u^{10} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $4 x^{2} - 5$ で置き換えます。

$\frac{1}{10} {(4 x^{2} - 5)}^{10} + C$

微分積分 例

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