微分積分例

$y = \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$

ステップ 1

総和則では、 $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

ステップ 2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ です。

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\tan (x)$ とします。

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 3.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

ステップ 3.4

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\sec^{2} (x) + \frac{3}{3} (\tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

ステップ 3.5

$\tan^{2} (x)$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3} \sec^{2} (x)$

ステップ 3.6

$\frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3}$ と $\sec^{2} (x)$ をまとめます。

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3 \sec^{2} (x)}{3}$

ステップ 3.7

$3$ を $\tan^{2} (x)$ の左に移動させます。

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

ステップ 3.8

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.8.1

共通因数を約分します。

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

ステップ 3.8.2

$\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

ステップ 4.2

$\sec^{2} (x)$ を $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$\sec^{2} (x)$ を $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ で因数分解します。

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x)$

ステップ 4.2.2

$1$ を掛けます。

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$

ステップ 4.2.3

$\sec^{2} (x)$ を $\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

ステップ 4.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 4.4

指数を足して $\sec^{2} (x)$ に $\sec^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\sec (x)}^{2 + 2}$

ステップ 4.4.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\sec^{4} (x)$

微分積分 例

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