微分積分例

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

ステップ 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = 6 \sin (t)$ とします。次に $d x = 6 \cos (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $6 \cos (t)$ は正であることに注意します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

積の法則を $6 \sin (t)$ に当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.2

$6$ を $2$ 乗します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.1.3

$36$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.2

$36$ を $36$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.3

$36$ を $- 36 \sin^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.4

$36$ を $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ で因数分解します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 \cos^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.6

$36 \cos^{2} (t)$ を ${(6 \cos (t))}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 2.1.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2

$6 \cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

ステップ 2.2.2

式を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 6 \sin (t) d t$

ステップ 3

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (t) d t$

ステップ 4

$\sin (t)$ の $t$ に関する積分は $- \cos (t)$ です。

$6 (- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{π}{6}$ および $0$ で $- \cos (t)$ の値を求めます。

$6 ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (0))$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (0))$

ステップ 5.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

分配則を当てはめます。

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 \cdot 1$

ステップ 5.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

ステップ 5.3.2.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

ステップ 5.3.2.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

ステップ 5.3.2.4

式を書き換えます。

$3 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot 1$

ステップ 5.3.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 \sqrt{3} + 6 \cdot 1$

ステップ 5.3.4

$6$ に $1$ をかけます。

$- 3 \sqrt{3} + 6$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 3 \sqrt{3} + 6$

10進法形式：

$0.80384757 \dots$

微分積分 例

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