微分積分例

${(x + 1)}^{- 2}$

ステップ 1

${(x + 1)}^{- 2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(x + 1)}^{- 2}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(x + 1)}^{- 2} d x$

ステップ 4

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 4.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{- 2} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{- 2}$ の $u$ に関する積分は $- u^{- 1}$ です。

$- u^{- 1} + C$

ステップ 6

$- u^{- 1} + C$ を $- \frac{1}{u} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{u} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{x + 1} + C$

ステップ 8

答えは関数 $f (x) = {(x + 1)}^{- 2}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{x + 1} + C$

微分積分 例