微分積分例

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{7 + 4 x^{2}}}{2 x + 5}$

ステップ 1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $- \sqrt{x^{2}} = x$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{5}{x}}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{2 + \frac{5}{x}}$

ステップ 2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2}}}}{2 + \frac{5}{x}}$

ステップ 2.2.2

$4$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + 4}}{2 + \frac{5}{x}}$

ステップ 2.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

ステップ 2.4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{7}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

ステップ 2.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}} + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

ステップ 2.6

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

ステップ 2.7

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- \sqrt{7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

ステップ 4.2

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

ステップ 4.3

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

ステップ 4.4

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{2 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{- \sqrt{7 \cdot 0 + 4}}{2 + 5 \cdot 0}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{- \sqrt{0 + 4}}{2 + 5 \cdot 0}$

ステップ 6.1.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- \sqrt{4}}{2 + 5 \cdot 0}$

ステップ 6.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- \sqrt{2^{2}}}{2 + 5 \cdot 0}$

ステップ 6.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2 + 5 \cdot 0}$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$5$ に $0$ をかけます。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2 + 0}$

ステップ 6.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2}{2}$

ステップ 6.4

$- 2$ を $2$ で割ります。

$- 1$

微分積分 例

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