微分積分例

$\frac{2}{x} + \frac{1}{4 x^{2}}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{2}{x} + \frac{1}{4 x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{4 x^{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

ステップ 3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

ステップ 3.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- x^{- 4} (2 x))$

ステップ 3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 4} x)$

ステップ 3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{1 - 4})$

ステップ 3.9

$1$ から $4$ を引きます。

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 3})$

ステップ 3.10

$- 2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2}{4} x^{- 3}$

ステップ 3.11

$\frac{- 2}{4}$ と $x^{- 3}$ をまとめます。

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2 x^{- 3}}{4}$

ステップ 3.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2}{4 x^{3}}$

ステップ 3.13

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.13.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{3}}$

ステップ 3.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.13.2.1

$2$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{3})}$

ステップ 3.13.2.2

共通因数を約分します。

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{3})}$

ステップ 3.13.2.3

式を書き換えます。

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 1}{2 x^{3}}$

ステップ 3.14

分数の前に負数を移動させます。

$- 2 x^{- 2} - \frac{1}{2 x^{3}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

微分積分 例

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