微分積分例

$\int \frac{1}{θ^{2}} \sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\sin (\frac{1}{θ})$ と $\frac{1}{θ^{2}}$ をまとめます。

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

ステップ 1.2

$\frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$ と $\cos (\frac{1}{θ})$ をまとめます。

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

ステップ 2

$u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ とします。次に $d u_{2} = - \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ すると、 $- d u_{2} = \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d θ}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\sin (\frac{1}{θ})$ を微分します。

$\frac{d}{d θ} [\sin (\frac{1}{θ})]$

ステップ 2.1.2

$f (θ) = \sin (θ)$ および $g (θ) = \frac{1}{θ}$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ は $f' (g (θ)) g' (θ)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{1}{θ}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

ステップ 2.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

ステップ 2.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{1}{θ}$ で置き換えます。

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

ステップ 2.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$\frac{1}{θ}$ を $θ^{- 1}$ に書き換えます。

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{1}{θ}) (- θ^{- 2})$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\cos (\frac{1}{θ}) (- \frac{1}{θ^{2}})$

ステップ 2.1.4.2

$\cos (\frac{1}{θ})$ と $\frac{1}{θ^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$

ステップ 2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - u_{2} d u_{2}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int u_{2} d u_{2}$

ステップ 4

べき乗則では、 $u_{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ です。

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

ステップ 5

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ を $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

ステップ 6

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (\frac{1}{θ})$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \sin^{2} (\frac{1}{θ}) + C$

微分積分 例

微分積分例