微分積分例

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

ステップ 5

$u = 6 x + 3$ とします。次に $d u = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 6 x + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$6 x + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $6 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$6 + 0$

ステップ 5.1.4.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$6$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

ステップ 6

$\sin (u)$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

ステップ 7

$\frac{1}{6}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{6}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

ステップ 8.2

$2$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

ステップ 9

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

ステップ 10

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

ステップ 12.2.2

$- 4$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

ステップ 12.2.3

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.3.1

$2$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

ステップ 12.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

ステップ 12.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

ステップ 12.2.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

ステップ 12.2.3.2.4

$- 2 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $6 x + 3$ で置き換えます。

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

ステップ 14

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

微分積分 例

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