微分積分例

${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

ステップ 1

${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7} d x$

ステップ 4

$u = \frac{1}{2} x - 1$ とします。次に $d u = \frac{1}{2} d x$ すると、 $2 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = \frac{1}{2} x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{2} x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x - 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $\frac{1}{2} x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} x$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.3.3

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} + 0$

ステップ 4.1.4.2

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{7} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{2}$ で割ります。

$\int u^{7} (1 \cdot 2) d u$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\int u^{7} \cdot 2 d u$

ステップ 5.3

$2$ を $u^{7}$ の左に移動させます。

$\int 2 u^{7} d u$

ステップ 6

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int u^{7} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{7}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{8} u^{8}$ です。

$2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ を $2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$ に書き換えます。

$2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$2$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\frac{2}{8} u^{8} + C$

ステップ 8.2.2

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{8} u^{8} + C$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

ステップ 8.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

ステップ 8.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} u^{8} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{2} x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$

微分積分 例

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