微分積分例

$\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t$

ステップ 1

$t_{1}$ が $\infty$ に近づくときの、積分を極限として書きます。

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{t_{1}} e^{- s t} d t$

ステップ 2

$u = - s t$ とします。次に $d u = - s d t$ すると、 $- \frac{1}{s} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = - s t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- s t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [- s t]$

ステップ 2.1.2

$- s$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- s t$ の微分係数は $- s \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- s \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- s \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- s$

ステップ 2.2

$u = - s t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - s \cdot 0$

ステップ 2.3

$- s \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$u_{lower} = 0 s$

ステップ 2.3.2

$0$ に $s$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = - s t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - s t_{1}$

ステップ 2.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - s t_{1}$

ステップ 2.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{1}{s} d u$

ステップ 3.2

$\frac{1}{s}$ と $e^{u}$ をまとめます。

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - \frac{e^{u}}{s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - \frac{e^{u}}{s} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t_{1} \to \infty} - \int_{0}^{- s t_{1}} \frac{e^{u}}{s} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{s}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{s}$ を積分の外に移動させます。

$lim_{t_{1} \to \infty} - (\frac{1}{s} \int_{0}^{- s t_{1}} e^{u} d u)$

ステップ 6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{1}{s} e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$

ステップ 7

$e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$ と $\frac{1}{s}$ をまとめます。

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}}{s}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$- s t_{1}$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{(e^{- s t_{1}}) - e^{0}}{s}$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1 \cdot 1}{s}$

ステップ 8.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

ステップ 9

極限を求めます。

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ステップ 9.1

極限を求めます。

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ステップ 9.1.1

$- 1$ の項は $t_{1}$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{t_{1} \to \infty} \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

ステップ 9.1.2

$\frac{1}{s}$ の項は $t_{1}$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{s} lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - 1$

ステップ 9.1.3

$t_{1}$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{s} (lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

ステップ 9.2

指数 $- s t_{1}$ が $- \infty$ に近づくので、数 $e^{- s t_{1}}$ が $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{s} (0 - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

ステップ 9.3

極限を求めます。

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ステップ 9.3.1

$t_{1}$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{s} (0 - 1 \cdot 1)$

ステップ 9.3.2

答えを簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{s} (0 - 1)$

ステップ 9.3.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$

ステップ 9.3.2.3

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 9.3.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{s}$

ステップ 9.3.2.3.2

$\frac{1}{s}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{s}$

微分積分 例

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