微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{6 x + 5 x^{2}}}{6 x - 1}$

ステップ 1

$x$ を $6 x + 5 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ を $6 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 6 + 5 x^{2}}}{6 x - 1}$

ステップ 1.2

$x$ を $5 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 6 + x (5 x)}}{6 x - 1}$

ステップ 1.3

$x$ を $x \cdot 6 + x (5 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (6 + 5 x)}}{6 x - 1}$

ステップ 2

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $\sqrt{x^{2}} = x$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (6 + 5 x)}{x^{2}}}}{\frac{6 x}{x} - \frac{1}{x}}$

ステップ 3

$x$ の共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (6 + 5 x)}{x^{2}}}}{6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (6 + 5 x)}{x \cdot x}}}{6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (6 + 5 x)}{x \cdot x}}}{6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{6 + 5 x}{x}}}{6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{6 + 5 x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 5.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{6 + 5 x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 6

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x$ です。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + \frac{5 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + \frac{5 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 7.1.2

$5$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + 5}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 7.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + 5}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + 5}{1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 7.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} + 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 7.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 7.5

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{\frac{6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 8

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 9

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 9.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

ステップ 9.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 9.4

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{1}}}{6 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

ステップ 10

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{1}}}{6 - 0}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

$6 \cdot 0 + 5$ を $1$ で割ります。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 0 + 5}}{6 - 0}$

ステップ 11.2

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{0 + 5}}{6 - 0}$

ステップ 11.2.2

$0$ と $5$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{5}}{6 - 0}$

ステップ 11.3

分母を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{6 + 0}$

ステップ 11.3.2

$6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

10進法形式：

$0.37267799 \dots$

微分積分 例

微分積分例